मान लीजिए A एक ऐसा आव्यूह है कि A cdot begin{ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$ एक अदिश आव्यूह है। मान लीजिए यह अदिश आव्यूह $K = \begin{bmatrix} k & 0 \ 0

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$\begin{bmatrix} 36 & -32 \ 0 & 4 \end{bmatrix}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$ एक अदिश आव्यूह है। मान लीजिए यह अदिश आव्यूह $K = \begin{bmatrix} k & 0 \ 0 & k \end{bmatrix}$ है।तब $A = \begin{bmatrix} k & 0 \ 0 & k \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{bmatrix}^{-1}$ होगा।$\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \ 0 & 1/3 \end{bmatrix}$ है।अतः,$A = \begin{bmatrix} k & 0 \ 0 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \ 0 & 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & -2k/3 \ 0 & k/3 \end{bmatrix}$ है।दिया गया है कि $|3A| = 108$ है। चूंकि $A$ एक $2 	imes 2$ आव्यूह है,इसलिए $|3A| = 3^2 |A| = 9|A|$ होगा।अतः,$9|A| = 108 \Rightarrow |A| = 12$ होगा।हमारे व्यंजक से $|A|$ की गणना करने पर: $|A| = (k)(k/3) - 0 = k^2/3$ प्राप्त होता है।दोनों की तुलना करने पर: $k^2/3 = 12 \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$ प्राप्त होता है।$k = 6$ के लिए,$A = \begin{bmatrix} 6 & -4 \ 0 & 2 \end{bmatrix}$,इसलिए $A^2 = \begin{bmatrix} 6 & -4 \ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & -4 \ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & -32 \ 0 & 4 \end{bmatrix}$ होगा।$k = -6$ के लिए,$A = \begin{bmatrix} -6 & 4 \ 0 & -2 \end{bmatrix}$,इसलिए $A^2 = \begin{bmatrix} -6 & 4 \ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6 & 4 \ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & -32 \ 0 & 4 \end{bmatrix}$ होगा।दोनों स्थितियों में,$A^2 = \begin{bmatrix} 36 & -32 \ 0 & 4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $A$ एक ऐसा आव्यूह है कि $A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ एक अदिश आव्यूह (scalar matrix) है और $|3A| = 108$ है। तो $A^2$ किसके बराबर है?

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