माना कि f(x) घात 4 का एक बहुपद है जिसके चरम म | vedclass

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Question

(D) माना कि $f(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E$ घात $4$ का एक बहुपद है।दिया गया है कि $\lim_{x 	o 0} \left( \frac{f(x)}{x^2} + 1 ight) = 3$,इसलिए

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$\frac{9}{2}$

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(D) माना कि $f(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E$ घात $4$ का एक बहुपद है।दिया गया है कि $\lim_{x 	o 0} \left( \frac{f(x)}{x^2} + 1 ight) = 3$,इसलिए $\lim_{x 	o 0} \left( \frac{Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E}{x^2} + 1 ight) = 3$.इसका अर्थ है कि $\lim_{x 	o 0} \left( Ax^2 + Bx + C + \frac{D}{x} + \frac{E}{x^2} + 1 ight) = 3$.सीमा का मान निश्चित होने के लिए,$D = 0$ और $E = 0$ होना चाहिए। अतः,$C + 1 = 3$,जिससे $C = 2$ प्राप्त होता है।अब,$f(x) = Ax^4 + Bx^3 + 2x^2$. अवकलन करने पर $f'(x) = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 4x$ प्राप्त होता है।चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x = 1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए $f'(1) = 0$ और $f'(2) = 0$.$f'(1) = 4A + 3B + 4 = 0 \implies 4A + 3B = -4$ (समीकरण $1$).$f'(2) = 4A(8) + 3B(4) + 4(2) = 32A + 12B + 8 = 0 \implies 8A + 3B = -2$ (समीकरण $2$).समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(8A + 3B) - (4A + 3B) = -2 - (-4) \implies 4A = 2 \implies A = \frac{1}{2}$.$A = \frac{1}{2}$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $4(\frac{1}{2}) + 3B = -4 \implies 2 + 3B = -4 \implies 3B = -6 \implies B = -2$.अतः,$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$.अंत में,$f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^4 - 2(-1)^3 + 2(-1)^2 = \frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{9}{2}$.

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