मान लीजिए x, y धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं | vedclass

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Question

(C) हमें व्यंजक $E = \frac{x^m y^n}{(1 + x^{2m})(1 + y^{2n})}$ दिया गया है।हम इस व्यंजक को $E = \frac{x^m}{1 + x^{2m}} 	imes \frac{y^n}{1 + y^{2n}}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{4}$

Vedclass · Answer

(C) हमें व्यंजक $E = \frac{x^m y^n}{(1 + x^{2m})(1 + y^{2n})}$ दिया गया है।हम इस व्यंजक को $E = \frac{x^m}{1 + x^{2m}} 	imes \frac{y^n}{1 + y^{2n}}$ के रूप में लिख सकते हैं।प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को क्रमशः $x^m$ और $y^n$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$E = \frac{1}{\left( \frac{1}{x^m} + x^m ight)} 	imes \frac{1}{\left( \frac{1}{y^n} + y^n ight)}$.अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या $a$ के लिए,$a + \frac{1}{a} \ge 2$,जहाँ समानता तब होती है जब $a = 1$ हो।इसलिए,$x^m + \frac{1}{x^m} \ge 2$ और $y^n + \frac{1}{y^n} \ge 2$.इसका अर्थ है कि $\frac{1}{x^m + \frac{1}{x^m}} \le \frac{1}{2}$ और $\frac{1}{y^n + \frac{1}{y^n}} \le \frac{1}{2}$.इन असमिकाओं का गुणा करने पर,हमें $E$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

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