मान लीजिए S और S' एक दीर्घवृत्त की नाभियाँ है | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का अंत बिंदु $B(0, b

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$4$

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(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का अंत बिंदु $B(0, b)$ है।चूँकि $\Delta S'BS$ बिंदु $B$ पर एक समकोण त्रिभुज है,$BS$ और $BS'$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।$BS$ की प्रवणता $= -\frac{b}{ae}$.$BS'$ की प्रवणता $= \frac{b}{ae}$.$B$ पर कोण $90^\circ$ है,इसलिए प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा,अतः $(-\frac{b}{ae}) 	imes (\frac{b}{ae}) = -1$,जिसका अर्थ है $b^2 = a^2e^2$.हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए $b^2 = a^2(1-e^2)$,इसलिए $a^2e^2 = a^2 - a^2e^2$,जिससे $b^2 = \frac{a^2}{2}$ प्राप्त होता है।$\Delta S'BS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊँचाई} = \frac{1}{2} 	imes (2ae) 	imes b = aeb = 8$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2b^2 = 64$. $a^2e^2 = b^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b^4 = 64$ प्राप्त होता है,अतः $b^2 = 8$.चूँकि $b^2 = \frac{a^2}{2}$,हमारे पास $8 = \frac{a^2}{2}$ है,इसलिए $a^2 = 16$,जिसका अर्थ है $a = 4$.नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(8)}{4} = 4$.

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