मान लीजिए $f(x)$ घात $5$ का एक बहुपद है जिसके क्रांतिक बिंदु $x=\pm 1$ हैं। यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left(2+\frac{f(x)}{x^{3}}\right)=4$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

नीचे दिए गए कथनों का अवलोकन करें :
अभिकथन $(A)$ : $f(x)=x e^{-x}$ का अधिकतम मान $x=1$ पर है।
तर्क $(R)$ : $f^{\prime}(1)=0$ और $f^{\prime \prime}(1) < 0$
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

यदि एक आयत को $2 \sqrt{2}$ भुजा की लंबाई वाले एक समबाहु त्रिभुज में चित्रानुसार अंतर्निहित किया गया है,तो ऐसे आयत के अधिकतम क्षेत्रफल का वर्ग $....$ है।

अंतराल $[-\pi / 2, \pi / 2]$ में $f(x) = \sin (x)$ का अधिकतम मान क्या है?

फलन $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x + 3$ जो $[-1, 3]$ पर परिभाषित है, का

यदि वास्तविक रेखा $R$ पर परिभाषित एक सतत फलन $f$,$R$ में धनात्मक और ऋणात्मक मान ग्रहण करता है,तो समीकरण $f(x)=0$ का $R$ में एक मूल होता है। उदाहरण के लिए,यदि यह ज्ञात हो कि $R$ पर एक सतत फलन $f$ किसी बिंदु पर धनात्मक है और इसका न्यूनतम मान ऋणात्मक है,तो समीकरण $f(x)=0$ का $R$ में एक मूल होता है।
सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x)=k e^x-x$ पर विचार करें,जहाँ $k$ एक वास्तविक स्थिरांक है।
$1.$ रेखा $y=x$,$k \leq 0$ के लिए $y=k e^x$ से कहाँ मिलती है?
$(A)$ किसी बिंदु पर नहीं $(B)$ एक बिंदु पर $(C)$ दो बिंदुओं पर $(D)$ दो से अधिक बिंदुओं पर
$2.$ $k$ का धनात्मक मान जिसके लिए $k e^x-x=0$ का केवल एक मूल है,वह है
$(A)$ $1/e$ $(B)$ $1$ $(C)$ $e$ $(D)$ $\log_e 2$
$3.$ $k>0$ के लिए,$k$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिनके लिए $k e^x-x=0$ के दो भिन्न मूल हैं,वह है
$(A)$ $(0, 1/e)$ $(B)$ $(1/e, 1)$ $(C)$ $(1/e, \infty)$ $(D)$ $(0, 1)$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।