मान लीजिए alpha = frac{-1 + i sqrt{3}}{2}. यद | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\alpha = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है,जो $\omega^{3} = 1$ और $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ को स

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$x^{2} - 102x + 101 = 0$

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(A) दिया गया है $\alpha = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है,जो $\omega^{3} = 1$ और $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ को संतुष्ट करता है।$a = (1 + \omega) (1 + \omega^{2} + \omega^{4} + \dots + \omega^{200})$ के लिए।चूँकि $\omega^{3} = 1$,अनुक्रम $1, \omega^{2}, \omega^{4}, \dots$ हर तीन पदों में $1, \omega^{2}, \omega$ के रूप में दोहराता है। तीन क्रमागत पदों का योग $1 + \omega^{2} + \omega = 0$ होता है।योग में कुल $101$ पद हैं। पहले $99$ पदों का योग $0$ है। शेष दो पद $100$वें और $101$वें पद हैं: $1 + \omega^{2}$।अतः,$a = (1 + \omega)(1 + \omega^{2}) = 1 + \omega^{2} + \omega + \omega^{3} = 0 + 1 = 1$.$b = \sum_{k=0}^{100} \alpha^{3k} = \sum_{k=0}^{100} (\omega^{3})^{k} = \sum_{k=0}^{100} (1)^{k} = 101$.मूल $a = 1$ और $b = 101$ वाला द्विघात समीकरण $(x - 1)(x - 101) = 0$ है,जो $x^{2} - 102x + 101 = 0$ है।

मान लीजिए $\alpha = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}$. यदि $a = (1 + \alpha) \sum_{k=0}^{100} \alpha^{2k}$ और $b = \sum_{k=0}^{100} \alpha^{3k}$ है,तो $a$ और $b$ किस द्विघात समीकरण के मूल हैं?

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