मान लीजिए कि $f: X \rightarrow Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है। दर्शाइए कि $f^{-1}$ का व्युत्क्रम $f$ है,अर्थात $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ है।

(A) मान लीजिए कि $f : X \rightarrow Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है।
परिभाषा के अनुसार,एक फलन $f$ व्युत्क्रमणीय है यदि एक ऐसा फलन $g : Y \rightarrow X$ मौजूद हो कि $g \circ f = I_X$ और $f \circ g = I_Y$ हो,जहाँ $I_X$ और $I_Y$ क्रमशः $X$ और $Y$ पर तत्समक फलन हैं।
इस स्थिति में,$g = f^{-1}$ है।
शर्तों में $g = f^{-1}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{-1} \circ f = I_X$ और $f \circ f^{-1} = I_Y$.
अब,फलन $f^{-1} : Y \rightarrow X$ पर विचार करें। $f^{-1}$ के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,एक ऐसा फलन $h : X \rightarrow Y$ मौजूद होना चाहिए कि $h \circ f^{-1} = I_Y$ और $f^{-1} \circ h = I_X$ हो।
शर्तों $f \circ f^{-1} = I_Y$ और $f^{-1} \circ f = I_X$ से,हम देख सकते हैं कि $f$ फलन $h$ के रूप में कार्य करता है।
अतः,$f$ ही $f^{-1}$ का व्युत्क्रम है,जिसका अर्थ है कि $\left(f^{-1}\right)^{-1} = f$।