ધારો કે $f: X \rightarrow Y$ એક વ્યસ્ત સંપન્ન વિધેય છે. સાબિત કરો કે $f^{-1}$ નો વ્યસ્ત $f$ છે,એટલે કે $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$.

(A) ધારો કે $f : X \rightarrow Y$ એક વ્યસ્ત સંપન્ન વિધેય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિધેય $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે જો કોઈ એવું વિધેય $g : Y \rightarrow X$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય કે જેથી $g \circ f = I_X$ અને $f \circ g = I_Y$ થાય,જ્યાં $I_X$ અને $I_Y$ એ અનુક્રમે $X$ અને $Y$ પરના તદેવ વિધેયો છે.
આ કિસ્સામાં,$g = f^{-1}$ છે.
શરતોમાં $g = f^{-1}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f^{-1} \circ f = I_X$ અને $f \circ f^{-1} = I_Y$.
હવે,વિધેય $f^{-1} : Y \rightarrow X$ નો વિચાર કરો. $f^{-1}$ વ્યસ્ત સંપન્ન હોવા માટે,કોઈ એવું વિધેય $h : X \rightarrow Y$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ કે જેથી $h \circ f^{-1} = I_Y$ અને $f^{-1} \circ h = I_X$ થાય.
શરતો $f \circ f^{-1} = I_Y$ અને $f^{-1} \circ f = I_X$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f$ એ $h$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,$f$ એ $f^{-1}$ નો વ્યસ્ત છે,જેનો અર્થ છે કે $\left(f^{-1}\right)^{-1} = f$.