ધારો કે $^*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે,જે $a ^* b = a - b$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. નક્કી કરો કે શું આ ક્રિયા $^*$ ક્રમનો નિયમ અને જૂથનો નિયમ પાળે છે.

$Q$ પર,ક્રિયા $^*$ ને $a ^* b = a - b$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
$1$. ક્રમનો નિયમ (Commutativity):
ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે તે માટે,તમામ $a, b \in Q$ માટે $a ^* b = b ^* a$ થવું જોઈએ.
$a = \frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{3}$ લો.
$\frac{1}{2} ^* \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} ^* \frac{1}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6}$
અહીં $\frac{1}{6} \neq -\frac{1}{6}$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.
$2$. જૂથનો નિયમ (Associativity):
ક્રિયા જૂથનો નિયમ પાળે તે માટે,તમામ $a, b, c \in Q$ માટે $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ થવું જોઈએ.
$a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{4}$ લો.
$(a ^* b) ^* c = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) ^* \frac{1}{4} = \frac{1}{6} ^* \frac{1}{4} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2 - 3}{12} = -\frac{1}{12}$
$a ^* (b ^* c) = \frac{1}{2} ^* (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} ^* \frac{1}{12} = \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{6 - 1}{12} = \frac{5}{12}$
અહીં $-\frac{1}{12} \neq \frac{5}{12}$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.