मान लीजिए कि $^*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a \,^*\, b = a b^{2}$ द्वारा परिभाषित है। निर्धारित करें कि क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय और साहचर्य है।

समुच्चय $Q$ पर,संक्रिया $^*$ को $a \,^*\, b = a b^{2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
क्रमविनिमेयता की जाँच करने के लिए,हम $a \,^*\, b$ और $b \,^*\, a$ की तुलना करते हैं।
$Q$ में $a = \frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{3}$ लें।
$\frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{18}$.
$\frac{1}{3} \,^*\, \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
चूँकि $\frac{1}{18} \neq \frac{1}{12}$,इसलिए संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
साहचर्यता की जाँच करने के लिए,हम $(a \,^*\, b) \,^*\, c$ और $a \,^*\, (b \,^*\, c)$ की तुलना करते हैं।
$Q$ में $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{4}$ लें।
$(\frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{3}) \,^*\, \frac{1}{4} = (\frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^{2}) \,^*\, \frac{1}{4} = \frac{1}{18} \,^*\, \frac{1}{4} = \frac{1}{18} \times (\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{18 \times 16} = \frac{1}{288}$.
$\frac{1}{2} \,^*\, (\frac{1}{3} \,^*\, \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \,^*\, (\frac{1}{3} \times (\frac{1}{4})^{2}) = \frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{48} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{48})^{2} = \frac{1}{2 \times 2304} = \frac{1}{4608}$.
चूँकि $\frac{1}{288} \neq \frac{1}{4608}$,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।