ધારો કે $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ છે. ધારો કે $R_{1}$ એ $X$ પરનો સંબંધ છે જે $R_{1} = \{(x, y) : x - y \text{ એ } 3 \text{ વડે વિભાજ્ય છે}\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે અને $R_{2}$ એ $X$ પરનો બીજો સંબંધ છે જે $R_{2} = \{(x, y) : \{x, y\} \subset \{1, 4, 7\} \text{ અથવા } \{x, y\} \subset \{2, 5, 8\} \text{ અથવા } \{x, y\} \subset \{3, 6, 9\}\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $R_{1} = R_{2}$.

(N/A) ગણ $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષના આધારે ત્રણ ઉપગણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: $S_{1} = \{1, 4, 7\}$,$S_{2} = \{2, 5, 8\}$,અને $S_{3} = \{3, 6, 9\}$.
કોઈપણ $x, y \in X$ માટે,$x - y$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો $x$ અને $y$ સમાન ઉપગણ $S_{i}$ (જ્યાં $i \in \{1, 2, 3\}$) માં હોય.
જો $(x, y) \in R_{1}$ હોય,તો $x - y$ એ $3$ નો ગુણક છે,જેનો અર્થ છે કે $x$ અને $y$ ને $3$ વડે ભાગતા સમાન શેષ મળે છે. તેથી,$\{x, y\} \subset S_{1}$ અથવા $\{x, y\} \subset S_{2}$ અથવા $\{x, y\} \subset S_{3}$,જેનો અર્થ છે કે $(x, y) \in R_{2}$. આમ,$R_{1} \subset R_{2}$.
તેનાથી ઉલટું,જો $(x, y) \in R_{2}$ હોય,તો $\{x, y\}$ એ $S_{1}$,$S_{2}$,અથવા $S_{3}$ નો ઉપગણ છે. આ દરેક કિસ્સામાં,તફાવત $x - y$ એ $3$ નો ગુણક છે,તેથી $(x, y) \in R_{1}$. આમ,$R_{2} \subset R_{1}$.
કારણ કે $R_{1} \subset R_{2}$ અને $R_{2} \subset R_{1}$ છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $R_{1} = R_{2}$.