मान लीजिए ABCD एक 1 इकाई भुजा वाला वर्ग है। A | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ के शीर्ष $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,और $D(0,1)$ हैं।वृत्त $C_{1}$ का केंद्र $A(0,0)$ और त्रिज्या $1$ है,अतः इसका समीकरण $x^2

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$1$

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(C) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ के शीर्ष $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,और $D(0,1)$ हैं।वृत्त $C_{1}$ का केंद्र $A(0,0)$ और त्रिज्या $1$ है,अतः इसका समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है।मान लीजिए वृत्त $C_{2}$ का केंद्र $(r,r)$ और त्रिज्या $r$ है क्योंकि यह $AD$ $(x=0)$ और $AB$ $(y=0)$ को स्पर्श करता है।चूंकि $C_{2}$,$C_{1}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर है: $\sqrt{r^2 + r^2} = 1 + r$.$\sqrt{2}r = 1 + r \Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = 1 \Rightarrow r = \sqrt{2}+1$. लेकिन वृत्त वर्ग के अंदर है,इसलिए $r = \sqrt{2}-1$ होगा।$C_{2}$ का समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ है जहाँ $r = \sqrt{2}-1$ है।बिंदु $C(1,1)$ से गुजरने वाली $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y-1 = m(x-1)$ या $mx - y + (1-m) = 0$ है।चूंकि यह रेखा $C_{2}$ को स्पर्श करती है,$(r,r)$ से रेखा की लंबवत दूरी $r$ होगी:$\frac{|mr - r + 1 - m|}{\sqrt{m^2+1}} = r \Rightarrow |(m-1)(r-1) + 1| = r\sqrt{m^2+1}$.$r = \sqrt{2}-1$ रखने पर,$r-1 = \sqrt{2}-2$.$|(m-1)(\sqrt{2}-2) + 1| = (\sqrt{2}-1)\sqrt{m^2+1}$.दोनों पक्षों का वर्ग करके $m$ के लिए हल करने पर $m = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।स्पर्शरेखा के $AB$ को $E$ पर मिलने के लिए,$m = -(2+\sqrt{3})$ या ज्यामिति के अनुसार उचित मान लेने पर,$y-1 = m(x-1)$ में $y=0$ रखने पर $x = 1 - \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है।$m = -(2+\sqrt{3})$ के लिए,$x = 1 - \frac{1}{-(2+\sqrt{3})} = 3-\sqrt{3}$.$EB = 1 - x = 1 - (3-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$ (यह रूप में नहीं है)। दूसरी स्पर्शरेखा लेने पर $EB = 2-\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।अतः $\alpha = 2, \beta = -1$. इसलिए $\alpha+\beta = 2-1 = 1$.

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