मान लीजिए $S$ एक $G.P.$ के $n$ पदों का योग है,$P$ उनका गुणनफल है और $R$ उनके व्युत्क्रमों का योग है। सिद्ध कीजिए कि $P^{2} R^{n} = S^{n}$।

मान लीजिए $G.P.$ $a, ar, ar^{2}, \ldots, ar^{n-1}$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$S = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$
$P = a \cdot (ar) \cdot (ar^{2}) \cdots (ar^{n-1}) = a^{n} r^{1+2+\ldots+(n-1)}$
$P = a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}$
$R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^{2}} + \cdots + \frac{1}{ar^{n-1}}$
$R = \frac{r^{n-1} + r^{n-2} + \cdots + 1}{ar^{n-1}} = \frac{\frac{1(r^{n}-1)}{r-1}}{ar^{n-1}} = \frac{r^{n}-1}{ar^{n-1}(r-1)}$
अब,$P^{2} R^{n}$ पर विचार करें:
$P^{2} R^{n} = (a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}})^{2} \times \left( \frac{r^{n}-1}{ar^{n-1}(r-1)} \right)^{n}$
$P^{2} R^{n} = a^{2n} r^{n(n-1)} \times \frac{(r^{n}-1)^{n}}{a^{n} r^{n(n-1)} (r-1)^{n}}$
$P^{2} R^{n} = \frac{a^{n} (r^{n}-1)^{n}}{(r-1)^{n}}$
$P^{2} R^{n} = \left( \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \right)^{n}$
$P^{2} R^{n} = S^{n}$
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।