यदि a, b, c, d और p भिन्न वास्तविक संख्याएँ ह | vedclass

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Question

(C) दी गई असमिका $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \leq 0$ है। इसे $(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \leq 0$ के रूप में

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$a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं

Vedclass · Answer

(C) दी गई असमिका $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \leq 0$ है। इसे $(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \leq 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग $\leq 0$ होने के लिए प्रत्येक पद का $0$ होना आवश्यक है। अतः,$ap - b = 0$,$bp - c = 0$,और $cp - d = 0$। इससे $p = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$ प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि $a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

यदि $a, b, c, d$ और $p$ भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं ताकि $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \leq 0$ हो,तो:

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