मान लीजिए P(3,3) अतिपरवलय frac{x^{2}}{a^{2}}- | vedclass

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Question

(A) चूंकि बिंदु $(3,3)$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{9}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$  $(i)$.अतिपरवलय $\f

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$(\frac{9}{2}, 3)$

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(A) चूंकि बिंदु $(3,3)$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{9}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$  $(i)$.अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{x_{1}} + \frac{b^{2}y}{y_{1}} = a^{2} + b^{2}$ होता है।$(x_{1}, y_{1}) = (3,3)$ रखने पर,अभिलंब $\frac{a^{2}x}{3} + \frac{b^{2}y}{3} = a^{2} + b^{2}$ है।यह अभिलंब $(9,0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{a^{2}(9)}{3} + 0 = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 3a^{2} = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow b^{2} = 2a^{2}$  $(ii)$.$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $\frac{9}{a^{2}} - \frac{9}{2a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{18-9}{2a^{2}} = 1$ $\Rightarrow 9 = 2a^{2}$ $\Rightarrow a^{2} = \frac{9}{2}$.अतः $b^{2} = 2(\frac{9}{2}) = 9$.उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{9}{9/2} = 1 + 2 = 3$.इस प्रकार,क्रमित युग्म $(a^{2}, e^{2})$ का मान $(\frac{9}{2}, 3)$ है।

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