मान लीजिए a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\alpha$,$a^2x^2 + bx + c = 0$ का एक मूल है,अतः $a^2\alpha^2 + b\alpha + c = 0$,जिसका अर्थ है कि $b\alpha + c = -a^2\alpha^2$ है।दि

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$\alpha < \gamma < \beta$

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(D) दिया गया है कि $\alpha$,$a^2x^2 + bx + c = 0$ का एक मूल है,अतः $a^2\alpha^2 + b\alpha + c = 0$,जिसका अर्थ है कि $b\alpha + c = -a^2\alpha^2$ है।दिया गया है कि $\beta$,$a^2x^2 - bx - c = 0$ का एक मूल है,अतः $a^2\beta^2 - b\beta - c = 0$,जिसका अर्थ है कि $b\beta + c = a^2\beta^2$ है।मान लीजिए $f(x) = a^2x^2 + 2bx + 2c$ है। हम $\alpha$ और $\beta$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:$f(\alpha) = a^2\alpha^2 + 2(b\alpha + c) = a^2\alpha^2 + 2(-a^2\alpha^2) = -a^2\alpha^2$। चूँकि $a e 0$ और $\alpha > 0$ है,इसलिए $f(\alpha) $f(\beta) = a^2\beta^2 + 2(b\beta + c) = a^2\beta^2 + 2(a^2\beta^2) = 3a^2\beta^2$। चूँकि $a e 0$ और $\beta > 0$ है,इसलिए $f(\beta) > 0$ है।चूँकि $f(\alpha) 0$ है,इसलिए 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,$f(x) = 0$ का एक मूल $\gamma$ ऐसा अवश्य होगा कि $\alpha < \gamma < \beta$ हो।

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