मान लीजिए S_1, S_2, dots, S_{101} एक A.P. (सम | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है। अतः प्रत्येक $n$ के लिए $S_{n+1} - S_n = d$ है। दिया गया योग $\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{S_n S_{n+1}} = \fra

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$10$

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(A) मान लीजिए $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है। अतः प्रत्येक $n$ के लिए $S_{n+1} - S_n = d$ है। दिया गया योग $\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{S_n S_{n+1}} = \frac{1}{d} \sum_{n=1}^{100} (\frac{1}{S_n} - \frac{1}{S_{n+1}}) = \frac{1}{d} (\frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_{101}}) = \frac{1}{d} (\frac{S_{101} - S_1}{S_1 S_{101}}) = \frac{1}{6}$ है। चूंकि $S_{101} = S_1 + 100d$, इसलिए $S_{101} - S_1 = 100d$ है। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{d} (\frac{100d}{S_1 S_{101}}) = \frac{100}{S_1 S_{101}} = \frac{1}{6}$, जिससे $S_1 S_{101} = 600$ प्राप्त होता है। हमें $S_1 + S_{101} = 50$ दिया गया है। मान लीजिए $x = S_1$ और $y = S_{101}$ है। तो $x + y = 50$ और $xy = 600$ है। अंतर $|x - y| = \sqrt{(x+y)^2 - 4xy} = \sqrt{50^2 - 4(600)} = \sqrt{2500 - 2400} = \sqrt{100} = 10$ प्राप्त होता है।

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