मान लीजिए a_1, a_2, a_3, dots, a_{100} धनात्म | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $n = 100$ है। $n$ संख्याओं में से एक साथ $k$ संख्याएँ लेकर बनाए गए गुणनफलों के योग को $S_k$ द्वारा दर्शाया जाता है। न्यूटन की असमिका या

Vedclass · Accepted Answer

$\binom{100}{2}^2$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $n = 100$ है। $n$ संख्याओं में से एक साथ $k$ संख्याएँ लेकर बनाए गए गुणनफलों के योग को $S_k$ द्वारा दर्शाया जाता है। न्यूटन की असमिका या मैकलॉरिन की असमिका के अनुसार,हम जानते हैं कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,प्राथमिक सममित माध्य $E_k = \frac{S_k}{\binom{n}{k}}$,$E_k^2 \ge E_{k-1} E_{k+1}$ का पालन करते हैं। वैकल्पिक रूप से,$S_k S_{n-k} \ge \binom{n}{k}^2 (a_1 a_2 \dots a_n)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम $n = 100$ और $k = 2$ रखते हैं। अतः $S_2 S_{100-2} = S_2 S_{98} \ge \binom{100}{2}^2 (a_1 a_2 \dots a_{100})$। इसकी तुलना $S_{98} S_2 \ge \lambda (a_1 a_2 \dots a_{100})$ से करने पर,हमें $\lambda = \binom{100}{2}^2$ प्राप्त होता है। मान की गणना करने पर: $\binom{100}{2} = \frac{100 	imes 99}{2} = 4950$। अतः,$\lambda = (4950)^2$।

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