ધારો કે alpha in R એવું છે કે વિધેય f(x) = be | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = f(0) = \alpha$ થવ

Vedclass · Accepted Answer

આવું કોઈ $\alpha$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી

Vedclass · Answer

(C) વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$\operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{+}} f(x) = \operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{-}} f(x) = f(0) = \alpha$ થવું જોઈએ.પ્રથમ,જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ $x ightarrow 0^{+}$ માટે:$\operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2) \sin^{-1}(1-x)}{x(1-x)(1+x)} = \operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2)}{x} \cdot \frac{\sin^{-1}(1-x)}{1-x^2} = \frac{\pi}{2} \cdot \operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2)}{x}$.ધારો કે $1-x^2 = \cos 	heta$,તો જેમ $x ightarrow 0^{+}$,તેમ $	heta ightarrow 0^{+}$.$\operatorname{Lim}_{	heta ightarrow 0^{+}} \frac{	heta}{\sqrt{1-\cos 	heta}} = \operatorname{Lim}_{	heta ightarrow 0^{+}} \frac{	heta}{\sqrt{2} \sin(	heta/2)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 = \sqrt{2}$.તેથી,$RHL = \frac{\pi}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.હવે,ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ $x ightarrow 0^{-}$ માટે:$x \in (-1, 0)$ માટે,$\{x\} = x+1$.$\operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \sin^{-1}(1-(x+1))}{(x+1)-(x+1)^3} = \operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \sin^{-1}(-x)}{(x+1)(1-(x+1)^2)} = \operatorname{Lim}_{x ightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \cdot (-x)}{(x+1)(-x)(2+x)} = \frac{\cos^{-1}(0)}{1 \cdot 2} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$.અહીં $RHL = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$ અને $LHL = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,લક્ષ સમાન નથી.તેથી,$\alpha$ ની કોઈ પણ કિંમત માટે વિધેય $x=0$ આગળ સતત નથી.

Similar Questions

ધારો કે $f : [0,1] \to [0,1]$ એક સતત વિધેય છે,તો સમીકરણ $f(x) = x$

જો $f(x) = \begin{cases} 3 + x; & x \geqslant 0 \\ 2 - 3x; & x < 0 \end{cases}$ હોય,તો $\lim_{x \to 0} f(f(x))$ ની કિંમત શોધો.

જો $x \neq 0$ માટે $f(x) = \log(\sec^2 x)^{\cot^2 x}$ અને $x=0$ માટે $f(x) = K+1$ એ $x=0$ આગળ સતત હોય,તો $K$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module