मान लीजिए f :[-3,1] rightarrow R इस प्रकार दि | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \min \{(x+6), x^{2}\}, & -3 \leq x \leq 0 \ \max \{\sqrt{x}, x^{2}\}, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$-3 \leq x

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$41$

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(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \min \{(x+6), x^{2}\}, & -3 \leq x \leq 0 \ \max \{\sqrt{x}, x^{2}\}, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$-3 \leq x \leq 0$ के लिए,हम $x+6$ और $x^2$ की तुलना करते हैं। वे $x^2 = x+6 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। चूँकि $x \in [-3, 0]$,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -2$ है।$x \in [-3, -2]$ के लिए,$x^2 \geq x+6$,इसलिए $\min \{(x+6), x^2\} = x+6$.$x \in [-2, 0]$ के लिए,$x^2 \leq x+6$,इसलिए $\min \{(x+6), x^2\} = x^2$.$0 \leq x \leq 1$ के लिए,हम $\sqrt{x}$ और $x^2$ की तुलना करते हैं। वे $\sqrt{x} = x^2 \implies x = x^4 \implies x(x^3-1) = 0$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $x=0, 1$.$x \in [0, 1]$ के लिए,$\sqrt{x} \geq x^2$,इसलिए $\max \{\sqrt{x}, x^2\} = \sqrt{x}$.क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = \int_{-3}^{-2} (x+6) dx + \int_{-2}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx$$A = \left[ \frac{x^2}{2} + 6x ight]_{-3}^{-2} + \left[ \frac{x^3}{3} ight]_{-2}^{0} + \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} ight]_{0}^{1}$$A = \left( (2 - 12) - (4.5 - 18) ight) + \left( 0 - (-8/3) ight) + \left( 2/3 - 0 ight)$$A = (-10 + 13.5) + 8/3 + 2/3 = 3.5 + 10/3 = 7/2 + 10/3 = (21+20)/6 = 41/6$.अतः,$6A = 6 	imes (41/6) = 41$.

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$\{(x, y) : y^2 \leq 2x \text{ और } y \geq 4x - 1\}$ द्वारा वर्णित क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

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