मान लीजिए कि f(x),x में 6 घात का एक बहुपद है, | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + cx^{3} + dx^{2} + ex + f$.चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}} = 1$ एक शून्येतर वास्तविक म

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$144$

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(B) मान लीजिए $f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + cx^{3} + dx^{2} + ex + f$.चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}} = 1$ एक शून्येतर वास्तविक मान है,इसलिए $d = e = f = 0$ होना चाहिए।अतः,$f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + cx^{3}$.तब $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}} = \lim_{x \rightarrow 0} (x^{3} + ax^{2} + bx + c) = c = 1$.इसलिए,$f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + x^{3}$.अवकलन करने पर $f'(x) = 6x^{5} + 5ax^{4} + 4bx^{3} + 3x^{2}$.चूंकि $f(x)$ के $x = 1$ और $x = -1$ पर चरम बिंदु हैं,इसलिए $f'(1) = 0$ और $f'(-1) = 0$.$f'(1) = 6 + 5a + 4b + 3 = 0 \Rightarrow 5a + 4b = -9$.$f'(-1) = -6 + 5a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 5a - 4b = 3$.दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $10a = -6 \Rightarrow a = -\frac{3}{5}$.दोनों समीकरणों को घटाने पर: $8b = -12 \Rightarrow b = -\frac{3}{2}$.अतः,$f(x) = x^{6} - \frac{3}{5}x^{5} - \frac{3}{2}x^{4} + x^{3}$.$5 \cdot f(2) = 5 \left( 2^{6} - \frac{3}{5} \cdot 2^{5} - \frac{3}{2} \cdot 2^{4} + 2^{3} \right)$ की गणना करने पर।$5 \cdot f(2) = 5 \left( 64 - \frac{3}{5} \cdot 32 - \frac{3}{2} \cdot 16 + 8 \right) = 320 - 96 - 120 + 40 = 144$.

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