मान लीजिए f,R पर परिभाषित एक दो बार अवकलनीय फ | vedclass

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Question

(B) दिए गए सारणिक प्रतिबंध के अनुसार: $f(x)f^{\prime \prime}(x) - (f^{\prime}(x))^2 = 0$.इसे $\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\p

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$(6, 9)$

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(B) दिए गए सारणिक प्रतिबंध के अनुसार: $f(x)f^{\prime \prime}(x) - (f^{\prime}(x))^2 = 0$.इसे $\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + \ln(c)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f^{\prime}(x) = c f(x)$।यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = c$।पुनः समाकलन करने पर,$\ln(f(x)) = cx + k_1$,अतः $f(x) = k e^{cx}$।प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करने पर:$f(0) = 1 \implies k e^0 = 1 \implies k = 1$।$f^{\prime}(x) = c e^{cx}$,और $f^{\prime}(0) = 2 \implies c e^0 = 2 \implies c = 2$।इस प्रकार,$f(x) = e^{2x}$।$f(1) = e^2 \approx 7.389$ की गणना करने पर।चूंकि $6 < 7.389 < 9$,इसलिए यह मान $(6, 9)$ अंतराल में स्थित है।

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