मान लीजिए कि f(x) = int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^{x}$.$x=0$ पर,$f(0) = \int_{0}^{0} e^{t} f(t) dt + e^{0} = 0 + 1 = 1$.$x$ के सापेक्ष दोनों पक्ष

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$2 e^{(e^{x}-1)}-1$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^{x}$.$x=0$ पर,$f(0) = \int_{0}^{0} e^{t} f(t) dt + e^{0} = 0 + 1 = 1$.$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$f'(x) = e^{x} f(x) + e^{x} = e^{x}(f(x) + 1)$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x) + 1} = e^{x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $0$ से $x$ तक समाकलन करने पर:$\int_{0}^{x} \frac{f'(t)}{f(t) + 1} dt = \int_{0}^{x} e^{t} dt$.$[\ln(f(t) + 1)]_{0}^{x} = [e^{t}]_{0}^{x}$.$\ln(f(x) + 1) - \ln(f(0) + 1) = e^{x} - e^{0}$.चूंकि $f(0) = 1$,इसलिए $\ln(f(x) + 1) - \ln(2) = e^{x} - 1$.$\ln\left(\frac{f(x) + 1}{2}\right) = e^{x} - 1$.दोनों पक्षों का घातांक लेने पर:$\frac{f(x) + 1}{2} = e^{(e^{x} - 1)}$.$f(x) = 2 e^{(e^{x} - 1)} - 1$.

मान लीजिए कि $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^{x}$ सभी $x \in R$ के लिए एक अवकलनीय फलन है। तो $f(x)$ बराबर है ..... .

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