मान लीजिए f: R rightarrow R एक सतत फलन है। तो | vedclass

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Question

(B) माना सीमा $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} \int_{2}^{\sec ^{2} x} f(t) dt}{x^{2}-\frac{\pi^{2}}{16}}$ है।चूंकि यह $\fr

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$2 f(2)$

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(B) माना सीमा $L = \lim _{x ightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} \int_{2}^{\sec ^{2} x} f(t) dt}{x^{2}-\frac{\pi^{2}}{16}}$ है।चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हैं:$L = \lim _{x ightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} \cdot f(\sec^2 x) \cdot \frac{d}{dx}(\sec^2 x)}{2x}$.श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(\sec^2 x) = 2 \sec x \cdot \sec x 	an x = 2 \sec^2 x 	an x$.इसे प्रतिस्थापित करने पर:$L = \lim _{x ightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} \cdot f(\sec^2 x) \cdot 2 \sec^2 x 	an x}{2x}$.$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sec^2 x = 2$,$	an x = 1$,और $x = \frac{\pi}{4}$.$L = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot f(2) \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot \frac{\pi}{4}} = \frac{\pi \cdot f(2)}{\frac{\pi}{2}} = 2 f(2)$.

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है। तो $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} \int_{2}^{\sec ^{2} x} f(t) dt}{x^{2}-\frac{\pi^{2}}{16}}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x-9^x}{x(4^x+9^x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f$ एक निरंतर वर्धमान फलन है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f({x^2}) - f(x)}}{{f(x) - f(0)}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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