मान लीजिए $f(x) = x^{6} + 2x^{4} + x^{3} + 2x + 3$,$x \in R$ है। तो वह प्राकृतिक संख्या $n$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{n} f(1) - f(x)}{x - 1} = 44$ है।

$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to {0^ + }} {(\sin \theta )^{(\sin \theta - {{\sin }^2}\theta )}}$ का मान क्या है?

दिया गया है कि $f'(2) = 6$ और $f'(1) = 4$,तो $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(2h + 2 + {h^2}) - f(2)}}{{f(h - {h^2} + 1) - f(1)}} = $

मान लीजिए कि $\alpha$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ और $g: (\alpha, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ फलन हैं जो $f(x) = \sin \left(\frac{\pi x}{12}\right)$ और $g(x) = \frac{2 \log_{e}(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}{\log_{e}(e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}})}$ द्वारा परिभाषित हैं। तो $\lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} f(g(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$, $x=0$ पर अवकलनीय है। यदि $f(0)=0$ और $f'(0)=2$ है, तो $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} [f(x)+f(2 x)+f(3 x)+\ldots+f(2015 x)]$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x{e^x} - \log (1 + x)}}{{{x^2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।