मान लीजिए कि f: R rightarrow R को f(x) = begi | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।दिया गया है $f(x) = \frac{x^3}{(1-\cos 2x)^2} \ln\left(\frac{

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$1$

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(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।दिया गया है $f(x) = \frac{x^3}{(1-\cos 2x)^2} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$।चूंकि $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$,इसलिए $(1-\cos 2x)^2 = 4\sin^4 x$ होगा।अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{4\sin^4 x} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$।जब $x \rightarrow 0$ हो,तो $\sin x \approx x$ का उपयोग करने पर,$\frac{x^3}{4\sin^4 x} \approx \frac{x^3}{4x^4} = \frac{1}{4x}$ प्राप्त होता है।अब,$\ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right) = \ln(1+2xe^{-2x}) - 2\ln(1-xe^{-x})$।छोटे $u$ के लिए $\ln(1+u) \approx u$ का उपयोग करने पर,हमें $2xe^{-2x} - 2(-xe^{-x}) = 2xe^{-2x} + 2xe^{-x}$ मिलता है।जैसे-जैसे $x \rightarrow 0$ होता है,$e^{-2x} \rightarrow 1$ और $e^{-x} \rightarrow 1$,इसलिए व्यंजक $2x + 2x = 4x$ बन जाता है।इस प्रकार,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{4x} \cdot (4x) = 1$।

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