ધારો કે f: R rightarrow R એ f(x) = begin{case | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x^3}{(1-\cos 2x)^2} \ln\left(\frac{1+2

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x^3}{(1-\cos 2x)^2} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$.$1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ હોવાથી,$(1-\cos 2x)^2 = 4\sin^4 x$ થાય.તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{4\sin^4 x} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$.જ્યારે $x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $\sin x \approx x$ લેતા,$\frac{x^3}{4\sin^4 x} \approx \frac{x^3}{4x^4} = \frac{1}{4x}$.હવે,$\ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right) = \ln(1+2xe^{-2x}) - 2\ln(1-xe^{-x})$.નાના $u$ માટે $\ln(1+u) \approx u$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2xe^{-2x} - 2(-xe^{-x}) = 2xe^{-2x} + 2xe^{-x}$ મળે.જેમ $x \rightarrow 0$ થાય,તેમ $e^{-2x} \rightarrow 1$ અને $e^{-x} \rightarrow 1$,તેથી પદ $2x + 2x = 4x$ બને છે.આમ,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{4x} \cdot (4x) = 1$.

Similar Questions

વિધેય $f(x) = \begin{cases} x, & \text{જો } 0 \le x \le 1 \\ 1, & \text{જો } 1 < x \le 2 \end{cases}$ એ

જો વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \ne 1 \\ k, & x = 1 \end{cases}$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો વિધેય $f(x)=\begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \text{ માટે } \\ k, & x=0 \text{ માટે } \end{cases}$ એ $x=0$ આગળ સતત હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module