मान लीजिए A एक 3 times 3 वास्तविक आव्यूह है,ज | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ है।$A \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix

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अनंत हल हैं

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ है।$A \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \ c_2 \ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 \end{bmatrix}$ से,हमें $c_1 = 1, c_2 = 1, c_3 = 2$ प्राप्त होता है।$A \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + c_1 \ a_2 + c_2 \ a_3 + c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$ से,हमें $a_1 = -2, a_2 = -1, a_3 = -1$ प्राप्त होता है।$A \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \ a_2 + b_2 \ a_3 + b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$ से,हमें $b_1 = 3, b_2 = 2, b_3 = 1$ प्राप्त होता है।अतः,$A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \ -1 & 2 & 1 \ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।तब $A - 2I = \begin{bmatrix} -4 & 3 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ है।सारणिक $|A - 2I| = -4(0 - 1) - 3(0 - (-1)) + 1(-1 - 0) = 4 - 3 - 1 = 0$ है।समीकरण निकाय $\begin{bmatrix} -4 & 3 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$ है।इससे हमें समीकरण प्राप्त होते हैं:$1) -4x_1 + 3x_2 + x_3 = 4$$2) -x_1 + x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 1 + x_1$$3) -x_1 + x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = 1 + x_1$$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-4x_1 + 3(1 + x_1) + (1 + x_1) = -4x_1 + 3 + 3x_1 + 1 + x_1 = 4$। यह $4 = 4$ में परिणत होता है,जो हमेशा सत्य है।चूंकि निकाय संगत है और सारणिक $0$ है,इसलिए इसके अनंत हल हैं।

$List-I$	$List-II$
$(I)$ यदि $\frac{q}{r}=10$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(P)$ हल के रूप में $x=0, y=\frac{10}{9}, z=-\frac{1}{9}$ है
$(II)$ यदि $\frac{p}{r} \neq 100$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(Q)$ हल के रूप में $x=\frac{10}{9}, y=-\frac{1}{9}, z=0$ है
$(III)$ यदि $\frac{p}{q} \neq 10$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(R)$ अनंत हल हैं
$(IV)$ यदि $\frac{p}{q}=10$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(S)$ कोई हल नहीं है
	$(T)$ कम से कम एक हल है

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$a$ का वह धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रैखिक समघात समीकरण निकाय $x+ay+z=0$, $ax+2y-z=0$, और $2x+3y+z=0$ के अशून्य हल हों।

यदि $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ समीकरण निकाय:
$\begin{aligned} 2x-y+8z &= 13 \\ 3x+4y+5z &= 18 \\ 5x-2y+7z &= 20 \end{aligned}$
का हल है,तो $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=$ ज्ञात कीजिए।

समीकरणों की प्रणाली $kx + 2y - z = 1$,$(k - 1)y - 2z = 2$,और $(k + 2)z = 3$ का एक अद्वितीय हल है,यदि $k$ का मान है:

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