मान लीजिए f: R rightarrow R सभी x, y in R के | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x+y)=2^{x} f(y)+4^{y} f(x)$.$y=2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x+2)=2^{x} f(2)+4^{2} f(x) = 3 \cdot 2^{x} + 16 f(x)$.$x$ के सापे

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$248$

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(C) दिया गया है $f(x+y)=2^{x} f(y)+4^{y} f(x)$.$y=2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x+2)=2^{x} f(2)+4^{2} f(x) = 3 \cdot 2^{x} + 16 f(x)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x+2) = 3 \cdot 2^{x} \ln 2 + 16 f^{\prime}(x)$.$x=2$ के लिए,$f^{\prime}(4) = 3 \cdot 2^{2} \ln 2 + 16 f^{\prime}(2) = 12 \ln 2 + 16 f^{\prime}(2)$ ... $(i)$.वैकल्पिक रूप से,मूल समीकरण में $x=2$ रखने पर,$f(2+y)=2^{2} f(y)+4^{y} f(2) = 4 f(y) + 3 \cdot 4^{y}$.$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(2+y) = 4 f^{\prime}(y) + 3 \cdot 4^{y} \ln 4 = 4 f^{\prime}(y) + 6 \cdot 4^{y} \ln 2$.$y=2$ के लिए,$f^{\prime}(4) = 4 f^{\prime}(2) + 6 \cdot 4^{2} \ln 2 = 4 f^{\prime}(2) + 96 \ln 2$ ... $(ii)$.$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$12 \ln 2 + 16 f^{\prime}(2) = 4 f^{\prime}(2) + 96 \ln 2$.$12 f^{\prime}(2) = 84 \ln 2 \implies f^{\prime}(2) = 7 \ln 2$.$(ii)$ में मान रखने पर,$f^{\prime}(4) = 4(7 \ln 2) + 96 \ln 2 = 28 \ln 2 + 96 \ln 2 = 124 \ln 2$.अंत में,$14 \cdot \frac{f^{\prime}(4)}{f^{\prime}(2)} = 14 \cdot \frac{124 \ln 2}{7 \ln 2} = 2 \cdot 124 = 248$.

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एक वास्तविक मान वाला फलन $y = f(x)$ संबंध $f\left( x - \frac{4}{9} \right) + 2x \le \frac{9}{4}x^2 + \frac{8}{9} \le f\left( x + \frac{4}{9} \right) - 2x$ को संतुष्ट करता है। $f''(2)$ का मान है

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