मान लीजिए कि $C$ एक वृत्त है जो बिंदुओं $A (2,-1)$ और $B (3,4)$ से होकर गुजरता है। रेखाखंड $AB$,$C$ का व्यास नहीं है। यदि $r$,$C$ की त्रिज्या है और इसका केंद्र $(x-5)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{13}{2}$ वृत्त पर स्थित है,तो $r^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

सरल रेखा $2x - 3y = 1$ वृत्तीय क्षेत्र $x^2 + y^2 \leq 6$ को दो भागों में विभाजित करती है। यदि $S = \left\{ \left(2, \frac{3}{4}\right), \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{4}\right), \left(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}\right), \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right) \right\}$ है,तो $S$ में स्थित उन बिंदुओं की संख्या जो छोटे भाग के अंदर हैं,है

$L_1: 2x + 3y + p - 3 = 0$; $L_2: 2x + 3y + p + 3 = 0$ पर विचार करें,जहाँ $p$ एक वास्तविक संख्या है,और $C: x^2 + y^2 + 6x - 10y + 30 = 0$ है।
$STATEMENT-1$: यदि रेखा $L_1$ वृत्त $C$ की एक जीवा है,तो रेखा $L_2$ हमेशा वृत्त $C$ का व्यास नहीं होती है।
$STATEMENT-2$: यदि रेखा $L_1$ वृत्त $C$ का एक व्यास है,तो रेखा $L_2$ वृत्त $C$ की जीवा नहीं है।

दो वृत्त $x^2 + y^2 - 4y = 0$ और $x^2 + y^2 - 8y = 0$:

मान लीजिए $C_1$ तीसरे चतुर्थांश में $3$ त्रिज्या वाला वृत्त है,जो दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है। मान लीजिए $C_2$ केंद्र $(1,3)$ वाला वृत्त है जो $C_1$ को बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करता है। यदि $(\beta-\alpha)^2=\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि वृत्त $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ का एक व्यास,$(2,1)$ केंद्र वाले एक बड़े वृत्त की जीवा है,तो बड़े वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।