मान लीजिए कि f अंतराल left(0, frac{pi}{2}righ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $\int\limits_{\cos x}^{1} t^{2} f(t) d t = \sin^{3} x + \cos x - 1$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयो

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$6 - \frac{9}{\sqrt{2}}$

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(D) दिया गया है $\int\limits_{\cos x}^{1} t^{2} f(t) d t = \sin^{3} x + \cos x - 1$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):$-(\cos x)^{2} f(\cos x) \cdot (-\sin x) = 3 \sin^{2} x \cos x - \sin x$.$\sin x \cos^{2} x f(\cos x) = \sin x (3 \sin x \cos x - 1)$.चूंकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}ight)$,इसलिए $\sin x 
eq 0$,अतः $\cos^{2} x f(\cos x) = 3 \sin x \cos x - 1$.$f(\cos x) = 3 	an x \sec x - \sec^{2} x$.अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f^{\prime}(\cos x) \cdot (-\sin x) = 3(\sec x \cdot \sec^{2} x + 	an x \cdot \sec x 	an x) - 2 \sec x \cdot \sec x 	an x$.$\cos x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर,$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$,$\sec x = \sqrt{3}$,और $	an x = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।इन मानों को रखने पर,$f^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}ight) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}ight) = 3(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) - 2(3)(\sqrt{2}) = 15\sqrt{3} - 6\sqrt{2}$.अतः,$\frac{1}{\sqrt{3}} f^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}ight) = 6 - \frac{9}{\sqrt{2}}$।

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