मान लीजिए कि $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+3}{-1}$ समतल $px-qy+z=5$ पर स्थित है,जहाँ $p, q \in R$ है। मूल बिंदु से समतल की न्यूनतम दूरी क्या है?

वह बिंदु जिसके निर्देशांक,जहाँ रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+5}{4}$ समतल $2x+4y-z=3$ से मिलती है,हैं

रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{3}$ और बिंदु $(1,-1,3)$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

$R^3$ में,समतलों $P_1: y=0$ और $P_2: x+z=1$ पर विचार करें। मान लीजिए $P_3$ एक समतल है,जो $P_1$ और $P_2$ से भिन्न है,और उनके प्रतिच्छेदन से होकर गुजरता है। यदि बिंदु $(0,1,0)$ की $P_3$ से दूरी $1$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की $P_3$ से दूरी $2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है (हैं)?
$(A)$ $2\alpha+\beta+2\gamma+2=0$
$(B)$ $2\alpha-\beta+2\gamma+4=0$
$(C)$ $2\alpha+\beta-2\gamma-10=0$
$(D)$ $2\alpha-\beta+2\gamma-8=0$

$\mathbb{R}^3$ में,मान लीजिए $L$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। मान लीजिए कि $L$ पर स्थित सभी बिंदु दो समतलों $P_1: x+2y-z+1=0$ और $P_2: 2x-y+z-1=0$ से समान दूरी पर हैं। मान लीजिए $M$,$L$ पर स्थित बिंदुओं से समतल $P_1$ पर खींचे गए लंबों के पाद का बिंदु-पथ है। निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $M$ पर स्थित है?
$(A) \left(0, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}\right)$
$(B) \left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$
$(C) \left(-\frac{5}{6}, 0, \frac{1}{6}\right)$
$(D) \left(-\frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)$

स्थिति सदिश $\hat{i}-2 \hat{j}-6 \hat{k}$ वाले बिंदु की,बिंदु $(2, -3, -4)$ से गुजरने वाली और सदिश $6 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ के समांतर रेखा से दूरी कितनी इकाई है?