ધારો કે $M = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$,જ્યાં $\alpha$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને $N = \sum_{k=1}^{49} M^{2k}$. જો $(I - M^2)N = -2I$ હોય,તો $\alpha$ નું ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધો.

જો $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right]$,અને $C=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right]$,હોય,તો $\left(\left(\left((A B C)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T=$

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & k \end{bmatrix}$ અને $f(x) = x^3 - 2x^2 - \alpha x + \beta = 0$. જો $A$ એ $f(A) = 0$ નું સમાધાન કરે,તો:

સમીકરણ $\left| \begin{array}{ccc} (1+x)^2 & (1-x)^2 & -(2+x^2) \\ 2x+1 & 3x & 1-5x \\ x+1 & 2x & 2-3x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} (1+x)^2 & 2x+1 & x+1 \\ (1-x)^2 & 3x & 2x \\ 1-2x & 3x-2 & 2x-3 \end{array} \right| = 0$

ધારો કે $a, b$ અને $c$ ત્રણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જે $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 9 & 7 \\ 8 & 2 & 7 \\ 7 & 3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ $(E)$ નું સમાધાન કરે છે.
$1.$ જો બિંદુ $P(a, b, c)$, $(E)$ ના સંદર્ભમાં, સમતલ $2x+y+z=1$ પર આવેલું હોય, તો $7a+b+c$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) 0$ $(B) 12$ $(C) 7$ $(D) 6$
$2.$ ધારો કે $\omega$ એ $x^3-1=0$ નો ઉકેલ છે જ્યાં $\operatorname{Im}(\omega)>0$ છે. જો $a=2$ હોય અને $b$ તથા $c$ એ $(E)$ નું સમાધાન કરતા હોય, તો $\frac{3}{\omega^a}+\frac{1}{\omega^b}+\frac{3}{\omega^c}$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) -2$ $(B) 2$ $(C) 3$ $(D) -3$
$3.$ ધારો કે $b=6$ છે, અને $a$ તથા $c$ એ $(E)$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ હોય, તો $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)^n$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) 6$ $(B) 7$ $(C) \frac{6}{7}$ $(D) \infty$
પ્રશ્નો $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

ધારો કે $A=I_2-2 MM^{T}$,જ્યાં $M$ એ $2 \times 1$ ક્રમનો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જેથી સંબંધ $M^T M=I_1$ સાચો છે. જો $\lambda$ એક એવી વાસ્તવિક સંખ્યા હોય કે જેથી $2 \times 1$ ક્રમના કોઈ શૂન્યતર વાસ્તવિક શ્રેણિક $X$ માટે $AX=\lambda X$ સંબંધ સાચો હોય,તો $\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોના વર્ગોનો સરવાળો કેટલો થાય?