ધારો કે PQ એ પરવલય y^{2}=4x ની નાભિ જીવા છે જ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(t^{2}, 2t)$ અને $Q$ ના યામ $(\frac{1}{t^{2}}, -\frac{2}{t})$ છે.$PQ$ એ $R(3, 0)$ આગળ $\frac{\pi}{2}$ નો ખૂણો આંતરે છે,તેથી $P

Vedclass · Accepted Answer

$3+2\sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(t^{2}, 2t)$ અને $Q$ ના યામ $(\frac{1}{t^{2}}, -\frac{2}{t})$ છે.$PQ$ એ $R(3, 0)$ આગળ $\frac{\pi}{2}$ નો ખૂણો આંતરે છે,તેથી $PR$ અને $QR$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.$PR$ નો ઢાળ $= \frac{2t-0}{t^{2}-3} = \frac{2t}{t^{2}-3}$.$QR$ નો ઢાળ $= \frac{-2/t-0}{1/t^{2}-3} = \frac{-2/t}{(1-3t^{2})/t^{2}} = \frac{-2t}{1-3t^{2}}$.ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,$\frac{2t}{t^{2}-3} 	imes \frac{-2t}{1-3t^{2}} = -1$.$\frac{-4t^{2}}{(t^{2}-3)(1-3t^{2})} = -1 \Rightarrow 4t^{2} = (t^{2}-3)(1-3t^{2}) = t^{2} - 3t^{4} - 3 + 9t^{2} = -3t^{4} + 10t^{2} - 3$.$3t^{4} - 6t^{2} + 3 = 0 \Rightarrow 3(t^{2}-1)^{2} = 0 \Rightarrow t^{2} = 1$.આમ,$P$ એ $(1, 2)$ અને $Q$ એ $(1, -2)$ છે.જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $4$ છે,જે ઉપવલય $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ છે. તેથી,$\frac{2b^{2}}{a} = 4 \Rightarrow b^{2} = 2a$.ઉપવલયની નાભિ $(ae, 0)$ છે. $PQ$ નાભિ જીવા હોવાથી,રેખા $x=1$ એ નાભિ $(ae, 0)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ,તેથી $ae = 1$.$b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,$b^{2} = 2a$ અને $e^{2} = \frac{1}{a^{2}}$ મૂકતા:$2a = a^{2}(1 - \frac{1}{a^{2}}) = a^{2} - 1$.$a^{2} - 2a - 1 = 0$. $a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. $a>0$ હોવાથી,$a = 1+\sqrt{2}$.તેથી $e^{2} = \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{(1+\sqrt{2})^{2}} = \frac{1}{1+2+2\sqrt{2}} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = 3-2\sqrt{2}$.તેથી,$\frac{1}{e^{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = 3+2\sqrt{2}$.

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $\left[\frac{p}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right), \frac{q}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right]$	$(I)$ પરવલય
$(B)$ $(p+q \cos \theta, r+q \sin \theta)$	$(II)$ વર્તુળ
$(C)$ $(p+\lambda^2, q-\lambda)$	$(III)$ ઉપવલય
	$(IV)$ અતિવલય

Similar Questions

ધારો કે રેખા $L: 2x + y = k, k > 0$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 3$ નો સ્પર્શક છે. જો $L$ એ પરવલય $y^2 = \alpha x$ નો પણ સ્પર્શક હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module