$\lambda$ ના એવા મૂલ્યો,જેના માટે બિંદુ $(\lambda, \lambda-2)$ એ ઉપવલય $4x^2+9y^2=36$ ની અંદર અને પરવલય $y^2=x$ ની બહાર આવેલું હોય,તે નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?

એક ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$ ના શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ઉપવલય $E$ ની મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો અતિવલય $H$ ની અનુપ્રસ્થ અને સંયુગ્મી અક્ષો સાથે સંપાતી છે. જો $E$ અને $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $\frac{1}{2}$ હોય,અને $l$ એ ઉપવલય $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ હોય,તો $113l$ ની કિંમત $....$ છે.

જો $e_{1}$ અને $e_{2}$ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{4}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,અને $(e_{1}, e_{2})$ એ ઉપવલય $15x^{2}+3y^{2}=k$ પરનું બિંદુ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ઉગમબિંદુ $O$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલય $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે અને તેની નિયામિકાઓ $x = \pm \frac{4\sqrt{6}}{3}$ છે. ધારો કે $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ એક અતિવલય છે જેની ઉત્કેન્દ્રતા $E$ ની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ જેટલી છે, અને જેની નાભિલંબની લંબાઈ $E$ ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ જેટલી છે. તો $H$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

જો લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ ના બિંદુ $t$ આગળનો અભિલંબ વક્રને ફરીથી $t_1$ બિંદુએ મળે,તો $t^3 t_1$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ઉપવલય $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{4}=1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=16$ ના સામાન્ય સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.