मान लीजिए I_{n}(x)=int_{0}^{x} frac{1}{(t^{2} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $I_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{n}} dt$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = (t^{2}+5)^{-n}$ और $dv = dt$ लें। तब $du = -n(

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$50 I_{6}-9 I_{5}= x I_{5}^{\prime}$

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(A) दिया गया है $I_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{n}} dt$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = (t^{2}+5)^{-n}$ और $dv = dt$ लें। तब $du = -n(t^{2}+5)^{-n-1}(2t) dt$ और $v = t$ प्राप्त होता है। $I_{n}(x) = \left[ \frac{t}{(t^{2}+5)^{n}} \right]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} t \cdot (-n)(t^{2}+5)^{-n-1}(2t) dt$. $I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(t^{2}+5)^{n+1}} dt$. $I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n \int_{0}^{x} \frac{(t^{2}+5)-5}{(t^{2}+5)^{n+1}} dt$. $I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n I_{n}(x) - 10n I_{n+1}(x)$. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $10n I_{n+1}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + (2n-1) I_{n}(x)$ प्राप्त होता है। $n=5$ के लिए,$50 I_{6}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{5}} + 9 I_{5}(x)$. ध्यान दें कि $I_{5}^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{5}} dt = \frac{1}{(x^{2}+5)^{5}}$. अतः,$50 I_{6}(x) = x I_{5}^{\prime}(x) + 9 I_{5}(x)$,जिसका अर्थ है कि $50 I_{6} - 9 I_{5} = x I_{5}^{\prime}$.

मान लीजिए $I_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{n}} dt, n=1, 2, 3, \ldots$. तो

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यदि $\int \frac{dx}{\cos^3 x \sqrt{2 \sin 2x}} = (\tan x)^A + C(\tan x)^B + k$ जहाँ $k$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $A+B+C$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int {\frac{{{x^4} + 1}}{{x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} dx = A \ln |x| + \frac{B}{{1 + {x^2}}} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है,तो:

$\int \frac{\sin x}{\sin x - \cos x} \, dx = $

यदि $\int \frac{1 - (\cot x)^{2021}}{\tan x + (\cot x)^{2022}} dx = \frac{1}{A} \log |(\sin x)^{2023} + (\cos x)^{2023}| + c$ है,तो $A = . . . . . .$

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \sin x}} \, dx = $

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