मान लीजिए f :[0,1] rightarrow R अंतराल (0,1) | vedclass

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Question

(C) $g(x) = f(x) - (2x + 3)$ को परिभाषित करें।दिया है $f(0)=3$,अतः $g(0) = f(0) - (2(0) + 3) = 3 - 3 = 0$.दिया है $f(1)=5$,अतः $g(1) = f(1) - (2(1) +

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$2$

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(C) $g(x) = f(x) - (2x + 3)$ को परिभाषित करें।दिया है $f(0)=3$,अतः $g(0) = f(0) - (2(0) + 3) = 3 - 3 = 0$.दिया है $f(1)=5$,अतः $g(1) = f(1) - (2(1) + 3) = 5 - 5 = 0$.चूंकि रेखा $y=2x+3$ फलन $f(x)$ को $(0,1)$ में दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है,मान लीजिए ये बिंदु $x_1$ और $x_2$ हैं जहाँ $0 अतः,$g(x_1) = 0$ और $g(x_2) = 0$.हमें $g(0)=0, g(x_1)=0, g(x_2)=0, g(1)=0$ प्राप्त होता है।रोले के प्रमेय के अनुसार,$g^{\prime}(x)$ का प्रत्येक अंतराल $(0, x_1)$,$(x_1, x_2)$,और $(x_2, 1)$ में कम से कम एक शून्य होना चाहिए।मान लीजिए ये शून्य $c_1, c_2, c_3$ हैं ताकि $0 अब,अंतराल $(c_1, c_2)$ और $(c_2, c_3)$ पर $g^{\prime}(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू करने पर:$g^{\prime\prime}(x)$ का $(c_1, c_2)$ में कम से कम एक शून्य और $(c_2, c_3)$ में कम से कम एक शून्य होना चाहिए।इसलिए,$g^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime}(x)$ के $(0,1)$ में कम से कम $2$ शून्य होते हैं।

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फलन $f(x)=2x^3-3x^2-x+1$ और अंतरालों $I_1=[-1,0]$, $I_2=[0,1]$, $I_3=[1,2]$, $I_4=[-2,-1]$ पर विचार करें। तो,

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$। यदि $a = 4$,$b = 9$ और $f(x) = \sqrt{x}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

$[0,4]$ में $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार $c$ का मान है

मान लीजिए $f(1) = -2$ और $1 \le x \le 6$ के लिए $f'(x) \ge 4.2$ है। $f(6)$ का संभावित मान किस अंतराल में स्थित है?

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