मान लीजिए A एक 2 times 2 आव्यूह है जिसका रूप | vedclass

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Question

(C) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।$A^{-1}$ के अस्तित्व के लिए सारणिक $|A| = a - b 
eq 0$ होना चाहिए,अर्थात $a 
eq b$।

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$202$

Vedclass · Answer

(C) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।$A^{-1}$ के अस्तित्व के लिए सारणिक $|A| = a - b 
eq 0$ होना चाहिए,अर्थात $a 
eq b$।$A$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{a-b} \begin{bmatrix} 1 & -b \ -1 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a-b} & -\frac{b}{a-b} \ -\frac{1}{a-b} & \frac{a}{a-b} \end{bmatrix}$ है।$A^{-1}$ के सभी अवयव पूर्णांक होने के लिए,प्रत्येक अवयव को पूर्णांक होना चाहिए।इसके लिए $(a-b)$ को $1$,$-b$,$-1$,और $a$ का विभाजक होना चाहिए।विशेष रूप से,$(a-b)$ को $1$ का विभाजक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a-b = 1$ या $a-b = -1$।स्थिति $1$: $a-b = 1 \implies a = b+1$।चूंकि $-50 \leq b \leq 50$ है,इसलिए $b$ के लिए $101$ संभावित मान हैं,और प्रत्येक $b$ के लिए $a$ का मान अद्वितीय है।स्थिति $2$: $a-b = -1 \implies a = b-1$।इसी प्रकार,$-50 \leq b \leq 50$ के लिए,$b$ के $101$ संभावित मान हैं,और प्रत्येक $b$ के लिए $a$ का मान अद्वितीय है।अतः,ऐसे कुल आव्यूहों की संख्या $101 + 101 = 202$ है।

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आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$ के लिए,दर्शाइए कि $A^{3} - 6A^{2} + 5A + 11I = 0$ है। अतः,$A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ और $A \cdot \text{adj}(A) = AA^T$ है,तो $5a + b =$ ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = KA$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि आव्यूह $\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 7\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम (inverse) अस्तित्व में है,तो उसे ज्ञात कीजिए।

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