मान लीजिए f: R rightarrow R एक सतत फलन है,इस | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $f(x^2) = f(x^3)$ है।किसी भी $x > 0$ के लिए,मान लीजिए $x = t^6$ है। तब $f(t^{12}) = f(t^{18})$ होगा।अधिक सामान

Vedclass · Accepted Answer

$II$ और $III$ दोनों सत्य हैं

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $f(x^2) = f(x^3)$ है।किसी भी $x > 0$ के लिए,मान लीजिए $x = t^6$ है। तब $f(t^{12}) = f(t^{18})$ होगा।अधिक सामान्यतः,किसी भी $x > 0$ के लिए,हम $x = t^{6^n}$ लिख सकते हैं।प्रतिस्थापन को दोहराने पर,$f(x) = f(x^{2/3}) = f(x^{(2/3)^2}) = \dots = f(x^{(2/3)^n})$ प्राप्त होता है।जैसे-जैसे $n 	o \infty$,$(2/3)^n 	o 0$ होता है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f(x) = f(x^0) = f(1)$ होगा।चूंकि $f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(1)$ है।$x  0$ है। तब $f((-t)^2) = f((-t)^3) \implies f(t^2) = f(-t^3)$ होगा।चूंकि $f(t^2) = f(1)$,इसलिए $f(-t^3) = f(1)$ है।जैसे-जैसे $t^3$ सभी धनात्मक मानों को कवर करता है,सभी $x अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = c$ (एक स्थिरांक) है।एक अचर फलन एक सम फलन होता है क्योंकि $f(-x) = c = f(x)$ है।एक अचर फलन हर जगह अवकलनीय भी होता है और $f'(x) = 0$ होता है।इसलिए,$II$ और $III$ दोनों सत्य हैं।

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}, & x \ne 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}$,तो:

फलन $f(x) = p[x + 1] + q[x - 1],$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,$x = 1$ पर सतत है यदि:

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