ધારો કે a = hat{i} + hat{j} + hat{k},b = 2hat | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{a} = 5$ એ સમતલ $x + y + z = 5$ દર્શાવે છે. સમીકરણ $|\vec{r} - \vec{b}| + |\vec{r} - \vec{c}| = 4$ એ અવકાશમાં ઉપવલય (ell

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{a} = 5$ એ સમતલ $x + y + z = 5$ દર્શાવે છે. સમીકરણ $|\vec{r} - \vec{b}| + |\vec{r} - \vec{c}| = 4$ એ અવકાશમાં ઉપવલય (ellipse) દર્શાવે છે જેના નાભિઓ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ છે,જો સમતલ આ નાભિઓને સમાવતું હોય. પ્રથમ,તપાસો કે શું $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમતલ $x + y + z = 5$ પર છે: $\vec{b}(2, 2, 1)$ માટે,$2 + 2 + 1 = 5$ (સાચું). $\vec{c}(5, 1, -1)$ માટે,$5 + 1 - 1 = 5$ (સાચું). બંને નાભિઓ સમતલ પર હોવાથી,છેદગણ એ સમતલમાં એક ઉપવલય છે. મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 4$ છે,તેથી $a = 2$. નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = |\vec{b} - \vec{c}| = |(2-5)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k}| = |-3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$. આમ,$2ae = \sqrt{14} \Rightarrow 4e = \sqrt{14} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{14}}{4}$. $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b^2 = 4(1 - \frac{14}{16}) = 4(\frac{2}{16}) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ મળે છે,તેથી $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$. ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $\pi ab = \pi(2)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}\pi \approx 1.414 	imes 3.14159 \approx 4.44$ છે. સૌથી નજીકનો પૂર્ણાંક $4$ છે.

Similar Questions

જો $a, b, c$ એ $H.P.$ ના $p^{th}, q^{th}, r^{th}$ પદો હોય અને $\vec{u} = (q-r)\hat{i} + (r-p)\hat{j} + (p-q)\hat{k}$ તથા $\vec{v} = \frac{\hat{i}}{a} + \frac{\hat{j}}{b} + \frac{\hat{k}}{c}$ હોય,તો:

જો $p = i - 2j + 3k$ અને $q = 3i + j + 2k$ હોય,તો $r$ ની દિશામાંનો સદિશ જે $p$ અને $q$ નું સુરેખ સંયોજન હોય અને $q$ ને લંબ હોય તે શોધો.

જો $U = [2, -3, 4]$,$X = [0, 2, 3]$,$V = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ અને $Y = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$ હોય,તો $UV + XY = $?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module