જો $U = [2, -3, 4]$,$X = [0, 2, 3]$,$V = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ અને $Y = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$ હોય,તો $UV + XY = $?

$AB=a$ અને $AC=b$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ છે. $P$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે અને $Q$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે જેથી $\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$ અને $\frac{BQ}{QC}=\frac{1}{2}$ થાય. જો $AQ$ અને $CP$ નું છેદબિંદુ $D$ હોય અને $\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $7$ ચોરસ એકમ હોય,તો $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ (તે જ એકમમાં) કેટલું થાય?

જો $P=(0,1,2)$, $Q=(4,-2,1)$, અને $O=(0,0,0)$ હોય, તો $\angle POQ$ બરાબર શું થાય?

$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \dots$

ધારો કે $\vec{c}$ અને $\vec{d}$ એવા સદિશો છે કે જેથી $|\vec{c}+\vec{d}|=\sqrt{29}$ અને $\vec{c}\times(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})=(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\times\vec{d}$ થાય. જો $\lambda_1, \lambda_2$ $(\lambda_1 > \lambda_2)$ એ $(\vec{c}+\vec{d}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$ ની શક્ય કિંમતો હોય, તો સમીકરણ $K^{2}x^{2}+(K^{2}-5K+\lambda_{1})xy+(3K+\frac{\lambda_{2}}{2})y^{2}-8x+12y+\lambda_{2}=0$ એ વર્તુળ દર્શાવે છે, તો $K$ ની કિંમત શોધો:

જો $e$ એ $2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ બિંદુઓ દ્વારા નક્કી થતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ હોય. જો $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ હોય, તો $e$ પર $a$ નો પ્રક્ષેપ સદિશ શું છે?