माना x^2=4ky, k0 एक परवलय है जिसका शीर्ष O(0 | vedclass

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Question

(C) परवलय $x^2=4ky$ है। नाभिलंब $BC$ रेखा $y=k$ है। $B$ और $C$ के निर्देशांक $(-2k, k)$ और $(2k, k)$ हैं।चूंकि $BD=DE=EC$ और $BC=4k$,इसलिए $DE = \frac

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$\frac{\sqrt{5}}{3}$

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(C) परवलय $x^2=4ky$ है। नाभिलंब $BC$ रेखा $y=k$ है। $B$ और $C$ के निर्देशांक $(-2k, k)$ और $(2k, k)$ हैं।चूंकि $BD=DE=EC$ और $BC=4k$,इसलिए $DE = \frac{4k}{3}$ है।दीर्घवृत्त का केंद्र $P$,$DE$ का मध्यबिंदु $(0, k)$ है।दीर्घवृत्त मूल बिंदु $O(0,0)$ पर परवलय को स्पर्श करता है। माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ है।यह $O(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{0}{a^2} + \frac{(-k)^2}{b^2} = 1$,जिससे $b^2 = k^2$ प्राप्त होता है।दीर्घवृत्त $BC$ (रेखा $y=k$) को $D$ और $E$ पर काटता है। $y=k$ रखने पर,$\frac{x^2}{a^2} = 1$,जिससे $x = \pm a$ मिलता है।अतः,$D = (-a, k)$ और $E = (a, k)$। $DE = 2a = \frac{4k}{3}$ होने के कारण,$a = \frac{2k}{3}$ है।चूंकि $a अतः,$e = \frac{\sqrt{5}}{3}$।

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यदि $y^{2}=4ax$ के बिंदु $(at^{2}, 2at)$ पर स्पर्श रेखा, जहाँ $|t|>1$, $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ के बिंदु $(a \sec \theta, a \tan \theta)$ पर अभिलंब है, तो

यदि दो वक्र $x^2-4y^2=2$ और $8x^2=40-my^2$ एक-दूसरे के लंबकोणीय (orthogonal) हैं,तो $m=$

यदि वक्र $y^2 = 6x$ और $9x^2 + by^2 = 16$ एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं,तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए।

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