ધારો કે I_n = int_0^1 e^{-y} y^n , dy,જ્યાં n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણને $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$ આપેલ છે.સરવાળાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{e}$

Vedclass · Answer

(C) આપણને $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$ આપેલ છે.સરવાળાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$.સંકલન અભિસારી હોવાથી,આપણે સરવાળા અને સંકલનને અદલાબદલી કરી શકીએ છીએ:$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \int_0^1 e^{-y} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} \right) \, dy$.આપણે જાણીએ છીએ કે $e^y$ માટે ટેલર શ્રેણી $e^y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$ છે.તેથી,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y - 1$.આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \int_0^1 e^{-y} (e^y - 1) \, dy = \int_0^1 (1 - e^{-y}) \, dy$.સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:$= [y - (-e^{-y})]_0^1 = [y + e^{-y}]_0^1$.$= (1 + e^{-1}) - (0 + e^0) = 1 + \frac{1}{e} - 1 = \frac{1}{e}$.

ધારો કે $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$,જ્યાં $n$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2} nx}{\sin x} dx$,$n \in N$,હોય તો

$\int_{0}^{^{n}C_{r}} \{ \sin^{2}\{x\} \} dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે અને $n, r \in N$)

જો $\alpha = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx + \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ હોય, તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

જો $f(x) = A \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$,$f'(1/2) = \sqrt{2}$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{2A}{\pi}$ હોય,તો અચળાંકો $A$ અને $B$ અનુક્રમે શોધો.

$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,જ્યાં $[ \cdot ]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તેની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module