मान लीजिए P(x) वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुप | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ जहाँ $x \in [0, \pi/2)$ है।मान लीजिए $t = \sin^2 x$ है। तब $\cos^2 x = 1 - t$ होगा। चूँकि $x \in [0, \p

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केवल $II$ और $III$ सही हैं

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ जहाँ $x \in [0, \pi/2)$ है।मान लीजिए $t = \sin^2 x$ है। तब $\cos^2 x = 1 - t$ होगा। चूँकि $x \in [0, \pi/2)$,इसलिए $t \in [0, 1)$ है।अतः,सभी $t \in [0, 1)$ के लिए $P(t) = P(1 - t)$ है। चूँकि $P$ एक बहुपद है,इसलिए सभी $t \in \mathbb{R}$ के लिए $P(t) = P(1 - t)$ होगा।मान लीजिए $u = t - 1/2$ है। तब $t = u + 1/2$ और $1 - t = 1/2 - u$ होगा।शर्त $P(u + 1/2) = P(1/2 - u)$ बन जाती है।मान लीजिए $Q(u) = P(u + 1/2)$ है। तब $Q(u) = Q(-u)$,जिसका अर्थ है कि $Q(u)$,$u$ का एक सम फलन है।चूँकि $Q(u)$ एक सम बहुपद है,इसे $u^2$ के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।$u = x - 1/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(x) = Q(x - 1/2)$ प्राप्त होता है,जो $(x - 1/2)^2$ में एक बहुपद है,या समान रूप से $(2x - 1)^2$ में एक बहुपद है। यह कथन $II$ की पुष्टि करता है।चूँकि $Q(u)$ एक सम बहुपद है,इसकी घात सम होनी चाहिए। अतः,$P(x)$ एक सम घात का बहुपद होना चाहिए। यह कथन $III$ की पुष्टि करता है।कथन $I$ गलत है क्योंकि $P(x) = P(1-x)$ का अर्थ यह नहीं है कि $P(x) = P(-x)$ (उदाहरण के लिए,$P(x) = x(1-x)$ शर्त को पूरा करता है लेकिन यह सम फलन नहीं है)।इसलिए,केवल $II$ और $III$ सही हैं।

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