ધારો કે P(x) એ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ જ્યાં $x \in [0, \pi/2)$.ધારો કે $t = \sin^2 x$. તો $\cos^2 x = 1 - t$. $x \in [0, \pi/2)$ હોવાથી,$t \in [0

Vedclass · Accepted Answer

માત્ર $II$ અને $III$ સાચા છે

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ જ્યાં $x \in [0, \pi/2)$.ધારો કે $t = \sin^2 x$. તો $\cos^2 x = 1 - t$. $x \in [0, \pi/2)$ હોવાથી,$t \in [0, 1)$.આમ,તમામ $t \in [0, 1)$ માટે $P(t) = P(1 - t)$ થાય. $P$ એ બહુપદી હોવાથી,તમામ $t \in \mathbb{R}$ માટે $P(t) = P(1 - t)$ થશે.ધારો કે $u = t - 1/2$. તો $t = u + 1/2$ અને $1 - t = 1/2 - u$.શરત $P(u + 1/2) = P(1/2 - u)$ બને છે.ધારો કે $Q(u) = P(u + 1/2)$. તો $Q(u) = Q(-u)$,જેનો અર્થ છે કે $Q(u)$ એ $u$ નું યુગ્મ વિધેય છે.$Q(u)$ એ યુગ્મ બહુપદી હોવાથી,તેને $u^2$ ની બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાય છે.$u = x - 1/2$ મૂકતા,આપણને $P(x) = Q(x - 1/2)$ મળે છે,જે $(x - 1/2)^2$ માં બહુપદી છે,અથવા સમાન રીતે $(2x - 1)^2$ માં બહુપદી છે. આ વિધાન $II$ ની પુષ્ટિ કરે છે.$Q(u)$ એ યુગ્મ બહુપદી હોવાથી,તેની ઘાત યુગ્મ હોવી જોઈએ. આમ,$P(x)$ એ યુગ્મ ઘાતવાળી બહુપદી હોવી જોઈએ. આ વિધાન $III$ ની પુષ્ટિ કરે છે.વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે $P(x) = P(1-x)$ નો અર્થ એ નથી કે $P(x) = P(-x)$ (દા.ત.,$P(x) = x(1-x)$ શરતનું પાલન કરે છે પણ તે યુગ્મ નથી).તેથી,માત્ર $II$ અને $III$ સાચા છે.

Similar Questions

જો $f(x) = \sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$,જ્યાં $\alpha \in (0, \pi/2)$ અને $x > 0$ હોય,તો $f(x)$ ની કિંમત કોના કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module