ધારો કે f(x) એ [0, infty) પર એક અ-ઋણ વિકલનીય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $f(x) \geq 0$ અને $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$.વિધેય $g(x) = f(x) e^{-2x}$ ધ્યાનમાં લો.તો $g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) e^{-2x} - 2f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$f(x) = 0$ તમામ $x \geq 0$ માટે

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $f(x) \geq 0$ અને $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$.વિધેય $g(x) = f(x) e^{-2x}$ ધ્યાનમાં લો.તો $g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) e^{-2x} - 2f(x) e^{-2x} = e^{-2x} (f^{\prime}(x) - 2f(x))$.કારણ કે $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$,આપણી પાસે $f^{\prime}(x) - 2f(x) \leq 0$ છે.આમ,તમામ $x > 0$ માટે $g^{\prime}(x) \leq 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $g(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.કારણ કે $g(0) = f(0) e^0 = 0 	imes 1 = 0$ અને $x \geq 0$ માટે $g(x)$ ઘટતું વિધેય છે,તેથી તમામ $x \geq 0$ માટે $g(x) \leq g(0) = 0$ હોવું જોઈએ.જો કે,$f(x) \geq 0$ અને $e^{-2x} > 0$ છે,તેથી તમામ $x \geq 0$ માટે $g(x) = f(x) e^{-2x} \geq 0$ છે.તેથી,તમામ $x \geq 0$ માટે $g(x) = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \geq 0$ માટે $f(x) = 0$ છે.

ધારો કે $f(x)$ એ $[0, \infty)$ પર એક અ-ઋણ વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(0)=0$ અને તમામ $x>0$ માટે $f^{\prime}(x) \leq 2 f(x)$ છે. તો,$[0, \infty)$ પર:

Similar Questions

ધારો કે $y(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})$. તો $x = -1$ આગળ $y'(x) - y''(x)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f(x)$ એ વિકલનીય વિધેય છે, $f^{\prime}(x) > f(x)$ અને $f(0) = 0$. તો

વક્ર $y \cot x = y^3 \tan x$ માટે જે બિંદુએ અભિસંબંધ (abscissa) $\frac{\pi}{4}$ હોય,તે બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો:

ધારો કે $y = f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \text{જો } x \neq 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \end{cases}$. તો નીચેનામાંથી કયો આલેખ $y = f(x)$ ને શ્રેષ્ઠ રીતે રજૂ કરે છે?

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$. તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module