मान लीजिए n geq 3 एक पूर्णांक है। (1, 2, ldot | vedclass

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Question

(A) बहुपद $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_1 = 0$ के लिए,विएटा के सूत्रों के अनुसार मूलों का योग $S_\sigma = -\frac{a_{n-1}}{

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$S < -n!$

Vedclass · Answer

(A) बहुपद $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_1 = 0$ के लिए,विएटा के सूत्रों के अनुसार मूलों का योग $S_\sigma = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$ होता है।कुल योग $S$,$(1, 2, \ldots, n)$ के सभी $n!$ क्रमचयों पर $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ के मानों का योग है।समरूपता द्वारा,किन्हीं दो भिन्न सूचकांकों $i, j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ के लिए,उन क्रमचयों की संख्या जिनमें $a_n = i$ और $a_{n-1} = j$ है,$(n-2)!$ है।अतः,$S = \sum_{\sigma} -\frac{a_{n-1}}{a_n} = -(n-2)! \sum_{i=1}^n \sum_{j 
eq i} \frac{j}{i}$।आंतरिक योग को $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} ((\sum_{k=1}^n k) - i) = \frac{n(n+1)}{2} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} - n$ के रूप में लिखा जा सकता है।चूंकि $n \geq 3$,इसलिए $S < -n!$ सत्य है।

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