ધારો કે I_n = int_0^{pi / 2} x^n cos x , dx,જ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણી પાસે $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$ છે. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$I_n = [x^n \sin x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} n x^{n-1} \sin

Vedclass · Accepted Answer

$e^{\pi / 2} - 1 - \frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(A) આપણી પાસે $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$ છે. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$I_n = [x^n \sin x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} n x^{n-1} \sin x \, dx$. $I_n = (\frac{\pi}{2})^n - n \int_0^{\pi / 2} x^{n-1} \sin x \, dx$. ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^{\pi / 2} x^{n-1} \sin x \, dx = [x^{n-1} (-\cos x)]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} (n-1) x^{n-2} (-\cos x) \, dx = 0 + (n-1) I_{n-2}$. આ કિંમત મૂકતા,$I_n = (\frac{\pi}{2})^n - n(n-1) I_{n-2}$. તેથી,$I_n + n(n-1) I_{n-2} = (\frac{\pi}{2})^n$. $n!$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} = \frac{(\pi/2)^n}{n!}$ મળે છે. $n=2$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા,$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(\pi/2)^n}{n!} = (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\pi/2)^n}{n!}) - \frac{(\pi/2)^0}{0!} - \frac{(\pi/2)^1}{1!} = e^{\pi / 2} - 1 - \frac{\pi}{2}$.

ધારો કે $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$,જ્યાં $n$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} \right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{8-x}+\sqrt{x}} \, dx =$

$\int_{0}^{1} \tan^{-1} \left( \frac{1}{x^2 - x + 1} \right) dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \operatorname{cosec}^{101}\left(x-\frac{1}{x}\right) d x=$

જો $f(x)$ એ $T$ આવર્તકાળ ધરાવતું સતત આવર્તી વિધેય હોય,તો સંકલન $I = \int_a^{a + T} {f(x)\,dx} $ એ

$\int_{0}^{\infty} \log \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{dx}{1 + x^2}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module