मान लीजिए I_n = int_0^{pi / 2} x^n cos x , dx | vedclass

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Question

(A) हमारे पास $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$ है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$I_n = [x^n \sin x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} n x^{n-1}

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$e^{\pi / 2} - 1 - \frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(A) हमारे पास $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$ है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$I_n = [x^n \sin x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} n x^{n-1} \sin x \, dx$. $I_n = (\frac{\pi}{2})^n - n \int_0^{\pi / 2} x^{n-1} \sin x \, dx$. पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int_0^{\pi / 2} x^{n-1} \sin x \, dx = [x^{n-1} (-\cos x)]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} (n-1) x^{n-2} (-\cos x) \, dx = 0 + (n-1) I_{n-2}$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,$I_n = (\frac{\pi}{2})^n - n(n-1) I_{n-2}$. अतः,$I_n + n(n-1) I_{n-2} = (\frac{\pi}{2})^n$. $n!$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} = \frac{(\pi/2)^n}{n!}$ प्राप्त होता है। $n=2$ से $\infty$ तक योग करने पर,$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(\pi/2)^n}{n!} = (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\pi/2)^n}{n!}) - \frac{(\pi/2)^0}{0!} - \frac{(\pi/2)^1}{1!} = e^{\pi / 2} - 1 - \frac{\pi}{2}$.

मान लीजिए $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$,जहाँ $n$ एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो,$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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