मान लीजिए कि n एक धनात्मक पूर्णांक है। एक वास | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $I = \int \limits_1^{n+1} \frac{(\{x\})^{[x]}}{[x]} d x$. चूंकि अंतराल $[k, k+1)$ के लिए $[x]$ स्थिर है,जहाँ $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n}{n+1}$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए $I = \int \limits_1^{n+1} \frac{(\{x\})^{[x]}}{[x]} d x$. चूंकि अंतराल $[k, k+1)$ के लिए $[x]$ स्थिर है,जहाँ $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{(\{x\})^k}{k} d x$. $u = x-k$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = du$,और जैसे ही $x$,$k$ से $k+1$ तक बदलता है,$\{x\} = u$ होता है: $I = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{0}^{1} u^k du = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \left[ \frac{u^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. अतः,$I = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$. यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है,इसलिए $I = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

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